别急着逼孩子背数字，他脑子里天生自带数学雷达；先带他玩透实物，等感觉到位了，再教符号，数学就好学了。起点（天赋）：孩子天生会估数（数感），这是本能。工具（符号）：数字符号是人类发明的外挂，用来把模糊变精确。生理（大脑）：大脑处理数学的区域原本是干别的（如空间感知），属于再利用。方法（教育）：既然大脑是再利用，那教育就要先具象后抽象，先玩再学，顺势而为。1. 数感不是后天学来的，而是进化馈赠的天赋，动物和婴儿在接触任何教育之前，就已经能感知数量的多寡。数感不是靠刷题练出来的，而是老天爷赏饭吃。小动物和小宝宝，还没上学呢，就知道一堆东西里哪个多哪个少。就像乌鸦喝水：科学家做过实验，给乌鸦放几只瓶子，有的瓶子里有水，有的没有。乌鸦看一眼就知道哪只有水，不用数 1、2、3。就像小宝宝挑糖：母亲左手拿 1 块糖，右手拿 3 块糖，哪怕母亲不说话，一岁的小宝宝也会毫不犹豫地爬向那 3 块糖的那边。这就是天生的眼力见儿，也叫数觉。2. 数字符号是人类独有的杰作，它让我们从模糊的近似性跃升到精确计算，这是智人超越其他物种的关键能力。只有咱们人类发明了数字符号，这可是个神器。有了它，我们就不再靠大概、也许猜数，而是能算得准准的，这才把其他动物远远甩在身后。就像原始人打猎和现代人结账：原始人看到一群野牛和几头狼，只要知道野牛多就行；但现代人去超市买东西，如果只有这种模糊概念，那就麻烦了，不能跟收银员说我拿了大概一堆薯片，看着给钱吧。就像量尺：眼睛看两个人高矮，那是模糊感知；拿尺子一量，一个 180cm，一个 179cm，这就是精确计算。数字符号就是数学里的尺子。3. 数学能力依赖大脑中特定的神经回路，不是通用功能，这些回路原本有其他用途，被再利用来处理数字。脑子算数是有专门电路的，不能随便乱用。这些线路本来是干别的用的，后来才被借来专门处理数字问题。就像瑞士军刀：那把刀上的牙签功能，原本可能只是为了清理缝隙设计的，后来发现用来剔牙特别好使。大脑里处理数量的区域，原本是用来估算空间大小（比如判断猎物离我多远）和辨别手指动作的，后来被兼职拿来处理数字了。就像仓库改造：大脑里本来有个存杂物的仓库（视觉空间区），后来我们把里面清理了一下，专门改造成了放数学课本的书房。4. 教育必须顺应大脑的原始设计而非对抗它，先让孩子在游戏中体验数学的乐趣，再引入抽象符号，才能真正培养数学思维。教孩子数学别硬来，得顺着脑子的工作习惯来。先带着孩子在玩里找乐子，等兴趣来了再教那些枯燥的数字符号，这才是真懂数学。就像学游泳：不能刚把孩子扔水里就让他背漂浮原理和流体力学公式。得先让他玩水，感受水的浮力，爱上在水里的感觉，然后再教他蛙泳腿怎么蹬。就像认字：不会指着苹果这两个字让孩子认，而是先拿一个红彤彤的苹果给他看，让他摸、让他吃，等他对苹果有了具体的印象，再告诉他这俩字念苹果。数学也一样，先摸积木（具象），再认数字（抽象）。总之，数学启蒙的本质，不是强行灌输符号，而是保护孩子天生的数感，顺应大脑借壳上市的认知规律，通过具象体验搭建通往抽象思维的桥梁。

1. 人脑内有进化二来的 “累加器”。2. 美国布朗大学的拉塞尔・丘奇（Russell Church）和沃伦・梅克（WarrenMeck）实验显示，4 这个数对老鼠而言，是 28 的中间点，老鼠会将大于 4 和小于 4 的数归纳为两组，对于 4 这个数，老鼠会显得不知所措。但并不是老鼠不识 4，老鼠只是在 28 这个范围内，认为 4 是中间点。3. 大多数动物的数学表征并不精确，他们大多以模糊的方式去表征数字。4. 美国加州大学欧文分校的神经科学家理查德・汤普森（Richard Thompson）在实验中证实，猫大脑中有针对某些数字的神经元，例如，有一个神经元对 6 这个数字的激活会达到顶峰，它是 5 和 7 方向上，呈现出激活程度逐渐下降的情况，这一点不同于计算机，神经元在数字的接近区域也会呈现激活，这符合模拟计算的基本原理。（相关内容在 1970 年《Science》）5. 皮亚杰认为婴儿是一张白纸，也没有关于数量的概念。但作者认为刚出生的婴儿，也具有对数字的心里表征。6. 世界上绝大部分数字中的 1、2、3 都是用原始表意方式表达，但到 4 后，基本都改变了，包括罗马数字、阿拉伯数字、中文、古印度计数法等。主要原因可能是，人类对于大于 3 的线条，识别起来比较困难。法国巴黎索邦大学的贝特朗・布尔东（Bertrand Bourdon）通过从高处掉落有孔洞的铜板来对受试者进行实验，因为掉落的铜板，只能在受试者眼前一闪而过，受试者只能在很小的时间范围内识别铜板倒底有几个孔洞，实验表明受试者在识别大于 3 个孔洞的铜板，错误率和反应时长都大幅增加。7. “梯度定律”（scalar law），或者 “韦伯定律”（Weber’s law）表明，数字间距按倍率变化，人类不容易产生识别错误。但如果数字间距过小，人类在判断的时候就容易出错，也会增加判断时间。（数字间距含义是两个数字之间的差值）若一个人能快速分辨 10 个点与 13 个点，那么这个人也能快速分辨出 20 个点与 26 个点，但在快速分辨 20 个点与 24 或 25 个点时就会花费更多时间或出错。人对数字间距大的判断会更加快速和准确，反之。实验表明，人类在判断 4 和 5 的大小上花的时间，比判断 2 和 9 的大小上花的时间更多。即便通过系统性训练也没有改变。8. 分辨数字与心理尺度有关。9. 人类大脑中有 “数字空间”，天然将小数字排列在 “左侧”，大数字排列在 “右侧”。但作者认为，数字空间受文化的影响，部分伊朗学生习惯于将大数放在左侧，而不是右侧。世界上绝大部分尺子都是左小右大，即便用一根没有刻度的绳子去测量物体的长度，人类也自动的先以左侧为基准，再朝右侧延展绳子。数轴。10. 中文文字和发音有利于数字识别。11. 人类愿意用小数字的原因是，越大的数字在心里表征上就越模糊，反之。12. 作者抵制对儿童进行机械式算数教学，提倡从小就可以使用计算机来进行识数和计算。13. 根据对世界顶级数学家统计，男性在数量上明显多于女性。但作者认为，这很可能是由于社会偏见和教育导致的。14. 通过迈克尔・麦克洛斯基（Michael McCloskey）、阿方索・卡拉马扎（Alfonso Caramazza）的描述推测，大脑负责数字词汇和数字语法可能是由两块区域（功能）决定的。作者也认为，这种推断相对来说武断一些，因为读出一个数字，还会依赖于其他各个功能，并不是单一一个功能区域能决定的。```患者一个会认错数字，如将 5 认为 7；另外一个会认错位，如将 4700 读作四百零七。```15. 数字的精确和近似，看起来也似乎处于大脑的两个区域分别处理。16. 某一些大脑动作会引发癫痫，书中提到全球有十几个类似 0 “算数癫痫症” 患者，他们在做数学题或做数学思考的时候，会引发癫痫。通过其他来源得知，除了算数癫痫症，还有空间认知引发癫痫，阅读引发癫痫，音乐引发癫痫等病案。17. 脑区功能型划分是有一定证据证明的，但有些功能也依赖于多个脑区共同协调工作。例如本书中提到，“十” 作为词语序列 “二乘以五” 的补充脱口而出。更确切地说，负责编码句子 “二乘以五” 的分散神经元活动激活了位于基底神经节内神经回路中的神经元，这些神经元反过来激活了位于皮层言语区中负责编码 “十” 这个词的一系列神经元。其他的自发诵读现象，如谚语和诗歌等可能都是以类似的方式存储的。18. 负责代数的神经回路和负责计数心算的神经回路，很可能处于不同的区域，它们之间独立性非常高。19. 大脑的额叶区是发育成熟最晚，同时也是最早衰老的区域。20. 根据目前的研究表明，逻辑思考、深度理解等大脑活动，会引起大脑血管扩张，大脑血流增速等效应。21. 乘法运算依赖于左脑的语言部分，而数量大小则不依赖语言表征，对数量的比较，两侧大脑激活程度相当。```数量概念是进化获得的，而乘法运算则是基于人类语言的。```22. 大脑没有一个专门的区域负责算术操作。人类的算术计算依赖于大脑多个区域协同工作。23. 通过脑电图实验发现，大脑在对数字间距相近的数字辨别中，活跃程度高于数字间距较远的辨别。24. 在数字大小比较的实验中，大脑的前扣带回会产生大强度的负电位信号，这个信号发生在错误执行后的 70ms 内，因此认为这个激活并不是由感官激活的，而是大脑自发的检测机制激活的。（经过眼睛看到东西后，大脑视觉初级皮层激活时间约 100ms，这个反应时间远比视觉初级皮层激活时间还短。这个区域功能一般被认为是抑制活动的。）25. 人类的大脑并不等同于计算机的逻辑运行方式。机能主义认为相同的算法和相同的输入，就可以得到相同的结果，但从实践上来看，我们的大脑远远不会做出如此的反应。```正因大脑是模拟的，所以大脑很难被形式化。也因此大脑很难被计算机复刻。```26. 数学并非能精确的符合物理事实。物理和数学是两条路径，但在很长时间范围内，数学和物理看起来都严丝合缝，这使很多学者，包括爱因斯坦都认为，世界是被精密设计出来的。随着科学和观测的进步，逐渐发现，数学存在不能完全符合物理，数学的神秘性才逐渐被打破。27. hIPS 被认为是大脑中主要的数字加工区。28. 数字的大小与眼动方向、手部动作会有关联，这可能是在 hIPS 区域被激活的同时，神经元电信号扩散到了周围区域，因此我们看到一个数字时，我们的空间知觉、手眼动作，都会有影响。29. 作者认为，顶叶中，有针对每个数字的神经元，它们构成了初级数字编码并且特化。（有约 20% 的初级数字编码神经元位于顶叶区域，其他分散在考前的背外侧区域，背外侧区域的神经元对数字的反应略比顶叶神经元反应慢一些）30. 猴子的某一神经元对于某一数字的激活程度，不是类似计算机的 T/F，而是会呈现出一条相对平滑的曲线。举例来说，倾向于对 4 个点的点阵进行反应的神经元，同样会对 3 个或 5 个点进行放电，但是对单个点的放电要明显小很多。同时，作者也认为，数字神经元的编码形式类似于 “群编码”。31. 实验证明，在人类出生时就能对数量进行反应。在美国纽约大学的莉萨・费根森（Lisa Feigenson）实验显示，婴儿容易区分 2、3，但是很难区分 2、4。32. 数量的表征系统分为两个。一个是小数系统，其中只包含 1、2、3，与估算表征系统不同的是，这个系统是精确的表征系统。两个系统在 1、2、3 这三个数上是重合的，以使两个系统可以无缝结合。小数系统的编码是一个精确的离散编码，用了特定的记忆草方式去刻画 1、2、3。估算编码系统则用心理数轴的方式去进行编码。33. 通过对猴子和婴儿的关于数字识别训练的实验显示，随着对数字分析能力逐渐增强，刺激从前额叶逐渐转向了顶叶区域。因此，很可能说明，前额叶是其他皮层的 “训练教练”，其他皮层区域形成 “固化” 功能，是需要前额叶进行参与和训练的。34. 计算障碍和阅读障碍都很可能与遗传有关。35. 除了内容本身，本书的实验方法和实验设计，也是重点可学习和参考的东西。

十年前，跨专业读心理学，不认同认知神经科学的取向。打工许多年后，竟享受到这个领域学术思考的乐趣。这本书要求心理学背景，否则不易看懂。

从《脑与阅读》的听书版，认识了这个作者，说他很牛，然后看了看他的《脑与 XX》系列，觉得这本《脑与数学》最感兴趣，于是就看了。远观这本书，我觉得他应该是像最后一章所说的，讲做数学识别、运算或其他数学活动时的脑区使用情况等等。看了前两章，发现并不是，但还没开始失望，我就发现每一章讲的内容都挺有趣的。虽然他算得上是一本学术专著，但是每一章每一节都把观点拆开来讲，例子和实验也很容易看懂，所以说很容易看下去的。我觉得最精彩的观点有以下两个（反而不是脑科学的观点），一是说数学和人脑的发展，其实就是两者顺应着宇宙规律在发展，没有上帝的位置。二是其实数学和进化一样，每一个阶段都进化发展出许多当时看似没用的工具、方法、观点，但之后的某次进化、客观物理世界的发展，就真的要用到以前发展出来的工具，所以两者其实是异曲同工的。