【格式引文】刘雪峰著。心中有数：生活中的数学思维。人民邮电出版社.2022:3. 得到电子书：https://d.dedao.cn/Ea917AW7gMV8ANrS【推荐序】花时间认真阅读雪峰这本书后，我学到很多，领悟不少。算法与人生都是艺术，算法相当于计算机程序的灵魂，而人生则更深邃。成功的设计需要逻辑思维、经验和认知等，其中创意尤其不可或缺。读了雪峰这本书，你对此一定会有更深的感受。计算机科学和生活的关系之密切，体现为计算思维为我们解决生活中的种种问题提供了思考途径与解决方法，同时计算思维也从生活的智慧中借鉴了很多有益的思想和启示。所以，算法与人生可以互相借鉴。在这本书中，雪峰用他丰富的研究经验和对生活的深刻理解，将算法与生活联系起来，让我们既可以用生活中的知识和经验理解算法，也可以用算法解释人生。

2023 年 4 月 23 日，第 28 个世界读书日到来之际，第十八届文津图书奖揭晓，《心中有数》等 38 种推荐图书从近 2000 种参评图书中脱颖而出。恭喜雪峰老师🎉🎉🎉瑞思拜

作者在数学中看世界，把一些人生道理，融汇到数学里，也是个非常有趣的角度。全书可分为三大模块：1 用理性思维看世界，2 解决难题的策略和技巧，以及 3 如何学习和表达。用各种数学理念、科技概念解释了很多世间规律和人生法则。这些法则我们或许听过学过，但从来没有人从数学公式、数学概念的角度去讲述它们。这本书让我看到了理解世界的另一种角度和方式，也开拓了我的思维 —— 理解世界真的可以有各种各样的角度和方式啊🤔。

这两年我感觉，市面上开始有一些跳出专业学科，讲具体知识背后原理和智慧的书籍了，甚至我觉得 B 站上的很多科普视频，可能比书籍在这方面走的要更快一些，对于从不同学科领域中，了解这些知识原理的智慧，有了更便捷的途径。昨天我看出版社给我寄来的一本书，是北京航空航天大学的副教授，博士生导师刘雪峰老师写的《心中有数》这本书中的原理主要来自计算机科学，人工智能，线性代数，信号处理等领域，但是，刘老师条分缕析地从日常生活入手，讲这些原理背后的智慧，怎么用在我们日常生活决策当中，我就非常受启发，很多在其他领域学到的知识和方法，在刘老师书中才意识到，原来在数学中，是用这样的算法解释这个现象的，就能更够实现对一个知识从不同学科进行认识的效果。当然，在数学领域，我读的书不多，但是这本书，是我目前接触的，最契合我从学习学科知识背后智慧的角度，认识数学的书。推荐大家，可算我见到的数学思维生活应用的佳作～

期待更多这样的心中有数，再来几本！

这是一本数学类的科普书，思维方式背后简单的数学原理。读起来还行 ，不过有部分内容并没有公式，显得凑合，但没有公式的话，这本书就没啥意义了。虽然公式会劝退很多人，看不懂跳过去吧，所以我跳过去了不少😂

大学为什么要开设那么多门课程呢？除了希望学生能够具有广博的知识和一些底层能力，也可能是因为想通过对这些不同门类的课程进行学习，让学生掌握一个好的、通用的 “学习方法论”。本书的最后一节提到了机器有四种学习模式：单任务学习、多任务学习、迁移学习和元学习。在大学里大学，我们不要只培养那些在未来工作中能直接用上的 “技能”，更要培养自己的 “学习方法论”，学会如何学习。好的学习方法论可以帮助我们在一个新的领域中迅速上手。有了好的学习方法论，我们会成为更有潜力的人。大学刚毕业的学生往往 “不值钱”，但同时又有很多用人单位只要应届毕业生，因为应届生缺乏基础的技能和经验，但同时学得很快，可塑性强。所以要学会元学习模式，拥有自己的学习方法了论，那样面对不熟悉的工作也能快速掌握。

雪峰老师开门见山说了本书的定位和目标：定位🗺️就是一本读者友好地科普类书籍，帮大家把生活与数学建立联系；目标🎯就是要让读者自省自己是否落入两种极端世界观的窠臼：事在人为的有付出一定有成功的世界观，一切皆命中注定付出再多也没用的世界观，然后，塑造一套概率的世界观，即一方面要持续努力提升基础概率，一方面要认识到结果的随机性接受当下的现实。内容很活泼，很好读。➡️你要好好生活？有用：年轻的你多闯多尝试，不太年轻的就多锚定多深耕；➡️你要混迹职场？有用：持续做自己该做的事，提高成功率，一时的失意不要扰乱了分寸，假以时日成功可期；➡️你要涉足投资？有用：要接受比当前低的点，要有升维的视角，长远的眼光，坚定修炼基本功，做个长期主义者。让我们《心中有数》，热爱生活，智慧进取，掌控人生！

今年高考成绩出来后，很多晒成绩的同学说被数学拉了后腿，数学平均分创新低。不少人评论数学太难了，开玩笑般抱怨，买东西会加减乘除就够了，学数学有什么用？作为一个理工科高校老师和博士生导师，刘雪峰教授理解这种困惑，并用一本《心中有数》给出了答案。在这本书中，刘雪峰教授用轻松明快简单易懂的语言解释清楚了数学概念，更重要的是，他还将这些理论背后的数学思维和我们的生活紧密结合起来，让读者深刻感受到数学的巨大作用。作为一本荣获 2022 年 5 月中国好书奖的数学科普书，《心中有数》从思维、方法和学习三个方面介绍了各种数学思维。读完这本书，或许你会惊叹，原来数学像一张网，它帮我们筛选出有价值的人生，将我们连接进世界的本质，还一把提拉起我们各种能力的综合水平。下面，我们一起来看看，数学思维，如何帮我们找到更优解的人生。一，数学是张网，帮我们筛选出有价值的人生。或许每个人小时候都想过，为什么小鸟能在天上飞，我不能？如果我想飞上天，是不是必须模仿成小鸟的样子，有一对翅膀才能飞？直接观察的话，好像是这样。于是，人类向天空进军，从不断地改进翅膀开始。可不论是羽毛翅膀，木头翅膀，金属翅膀，都无法让人类飞起来。直到后来人们发现，只有上升的动力大于下降的重力，才能飞起来。通过数学计算大家才发现，如果想靠翅膀飞向天空，人类的胸骨需要凸出一米多，根本不可能实现。这个时候，人们才意识到，自己以前钻研的方向不对。问题的关键在于那个简单的数学符号：大于，而不是在具体的形式：翅膀。从此以后，人类对飞翔的研究突飞猛进，人类第一次顺利升上天空，完全没有用到翅膀，而是用了没有翅膀圆滚滚的热气球。数学帮人类成功地把飞翔的重点筛选出来，是几百年前的事情，看起来离我们好像有点远，那就说个近的，娃娃机。很多人都玩过抓娃娃机。以前觉得挺简单的，只要控制好机器的爪子，可以不费力气地夹住很多娃娃。不过，后来抓娃娃机有了一个小改动，抓娃娃机的爪子会有一定概率松开。从那以后，抓起娃娃的难度比以前大多了。有人说，难了好啊，我喜欢有挑战的游戏。那，它究竟是有挑战的游戏还是越玩越输的游戏？刘雪峰教授在《心中有数》里根据大数定律帮大家算了算。大数定律，在统计学上，是指 “只要一件事发生的次数足够多，它出现某一个结果的频率就会等于其概率”。如果抓娃娃机设定爪子夹紧的概率是 1/10，用大数定律计算，就是只要抓娃娃的次数足够多，抓住娃娃的频率就等于概率 1/10，每抓 10 次能抓住 1 次。假设每局需要 2 元，一个娃娃价格 10 元，一个人玩了 1 万次，花费了 2 万元，他有 1/10 的机会抓住娃娃，也就是 1000 次，盈利是 1 万。平均下来，每玩一局亏 1 元，玩得越多，越接近这个结果。所以，这并不是有挑战的游戏，而是越玩越输的游戏，包含了赌博久赌必输的原理，没必要在这上面浪费时间和金钱。每个人精力有限，数学，可以筛选出值得付出的重点，帮我们集中精力做值得做的事情。除了去芜存精，数学这张网，还能帮我们透过现象看本质，更多维度地了解这个世界。二、数学是张网，帮我们连接进世界的本质。记得小时候学过一个成语，蜀鄙之僧，说的是四川两个两个和尚的故事。有一天，穷和尚对富和尚说，想去南海。富和尚问他怎么去？穷和尚回答，只有一个水瓶和一个饭钵就可以。富和尚不相信，自己攒了好多年的钱想买个船去南海，都没去成，你个穷光蛋怎么可能成功？结果，第二年，穷和尚游历完南海回来了。一个水瓶和一个饭钵，虽然少，但已经符合《心中有数》中 “最小可行产品” 的要求了：“严格来说，最小可行产品是指有部分功能恰好可以让设计者表达其核心设计概念的产品。” 穷和尚的核心，是去南海，只要有水喝有饭吃，满足基本生存需求，就可以启程了。至于路上会碰到什么，提前预测，不如见招拆招，通过源源不断的实践来提高自己的应对能力。这种先拿出最小可行产品再快速迭代的思维方式，不仅仅是古老的穷和尚顺利完成目标的办法，也是现在各类成功研发团队最经常采用的模型：敏捷模型。传统的瀑布模型，需要将一个产品的开发分成多个阶段，每个阶段都要设计完善，前一个阶段完成才能进行下一个，像瀑布的水逐级滑落一样，过程漫长，而且只有最后才能看到结果。如果结果不满意，又要浪费巨大的时间和精力再重头开始。可能采用敏捷模型的产品都升级了 20 次了，瀑布型的产品才刚开发出来呢。一个是花费不多，先开发出一个最小可行产品，然后在用户反馈下不断花小钱进行小升级的敏捷模型，一个是花费巨大时间精力，没有用户及时反馈，还按照很久以前的思维设计产品的瀑布模型，哪个更好，不是显而易见吗？不论是改变无数人的微习惯理论，还是手机上不断更新的 APP，它们能成功，都离不开敏捷模型。当我们羡慕别人不断进步获得巨大成功的时候，不妨用数学思维衡量一下自己，是不是陷入了瀑布模型？数学这张网，将我们和世界的本质连接在一起，让我们更深刻地理解这个世界的运行法则。接下来我们要做的，就是靠它，提升自己顺应这个世界发展乘风而起的能力。三、数学是张网，能整体拉升我们的能力水平。前几天，人力资源和社会保障部发布了新一批 18 个新增职业。每次颁布新职业，都是在开辟新领域，很多人摩拳擦掌想进去大展身手。这个时候，大家经常会思考一个问题，在一个新领域里，要如何快速胜任工作呢？这需要迁移学习的能力。刘雪峰教授在《心中有数》是这么解释的：“迁移学习就是把在某一个领域学到的知识，用于帮助另外一个领域内的任务更好地完成。” 如果是相关的领域，其实很容易理解，当我们学会了骑自行车，就比较容易学会电动车。那么，不相关的领域怎么快速迁移学习呢？或者，我们换个思路，哪个学科，可以说是大多数学科的相关学科呢？数学是其中之一。从小学习的数学，是所有理工科学科的基础学科，也是我们的大脑理性思维网络的开拓者。假如我们把大脑想象成一个交通网络，最初铺设道路的是数学。当有其他的车，比如物理、化学、计算机、人工智能、机械制造、金融等等要进入我们大脑的交通网络，他们行驶的快慢，就看路最初修得好不好了。数学这个网的质量好，所有的车都跑得快。从这个意义上说，数学学得好，可以大大提升我们的整体能力水平，对新领域的迁移学习能力强，在这个日新月异快速发展的社会更容易快速成长。在学校学习数学，目的不仅仅是学习数学知识和理论，更重要的是，学会这背后充满智慧的数学思维。当我们离开学校时，可以用数学这张网，筛选出对我们有价值的事情，连接我们进入世界的本质，整体拉升我们的能力水平。就像刘雪峰教授在《心中有数》中提到的那样，用数学，帮我们寻找人生的最优解。

一直以为数学理论只适合搞科研的大牛，殊不知，有人把数学理论用在了生活中，从算法中发现了应对人生的方法论。这本书就是北京航空航天大学计算机学院博士生导师刘雪峰的《心中有数：生活中的数学思维》，作为科普类图书获得第十八届图书文津奖。本书从思维、方法和学习三个层面告诉我们如何应用数学思维来理清人生难题，人生道路上心中有数，行之有方。 1、 理性思维看待世界努力的必要性：比如高考，努力不一定能考上好大学，不努力肯定是没有大学上的。无论如何都要努力。看人看事：万事（物）无利弊，只有特点。不必担忧自己不够好，只是没有物尽其用。 2、解决难题的策略和技巧找到正反馈：比如工作做得出色，就会有更多的机会，职场得意。工作不顺也要找到正反馈，吸取经验获得成长。抓住本质：比如雅思考试，一定是研究雅思官方教材、雅思真题，然后针对性地学习，而不是去练习四六级英语。 3、如何学习和表达主动预测 + 从差距中学习：比如读一本书先预测自己要解决的问题以及自己的答案，读完再根据书中的答案找到差异，查漏补缺。先表达重要信息，再逐步添加细节：比如描述数字 2315，用两千三百一十五就比直接读出阿拉伯数字更清晰。失意时，迷茫时，多读书，书中有我们前进的方向。# 人生最好的结局是什么# #心中有数：生活中的数学思维# #怎么释放自己心里的压力#

挺短的一本书，尽管里面具体数学或者计算机的推导看不懂，不过一些思维方法还是可以的从什么时候开始，有那么多从数学的角度来做底层逻辑或者思维方式的运用呢？不过我们读书的时候，如果也有人这么对比数学与日常生活，那学习应该还是挺好的

当下越来越流行关于 “元家族” 的各种概念了最开始接触的是李笑来强推的 “元认知”，然后发现好多这类书，然后就是 “元思维”、“元小说”、“元知识”、“元学习” 到 “元宇宙”，之后又突然火了 “底层逻辑”，总结起来就是 —— 慢慢回归初始化了。吴军老师就说过，数学思维，是基础知识。一直以为学校里学习的知识，如果不是搞学术或者专业知识的，能运用的范围很小。其实不然，我们最需要学会的，反而是最初的思维逻辑。印象深刻的是 “主动预测 + 从差距中学习”，可以先从看电视剧，看小说，这这方面来锻炼自己的预测推演能力。

要说数学在生活中的应用，我用的最多的大概就是 “两点之间，直线最短” 了吧，因为这真的可以帮助我节省很多体力。但是当我读完刘雪峰老师的《心中有数》时，我竟一时难以分辨，究竟是 “我肤浅了”，还是 “数学错付了”，亦或是两者皆而有之。恐怕马里亚纳海沟来了，都得臣服于我与《心中有数》之间那断崖式的落差。这是一本从目录开始，你就已经有收获的宝藏书：乍一看，这不就是典型的理工直男的表达方式嘛：1、思维篇 用理性思维看待世界；2、方法篇 用解决难题的策略和技巧；3、如何学习和表达。但你细琢磨，这三个维度简直就是一个输入 + 整合 + 输出的完美流程啊！ 思维篇　敲碎你对数学的刻板印象 当翻开第一章时，就意味着你对数学的刻板印象从这一刻起将被改写。在这一章节里，每个故事都很精彩，但给我留下印象最深刻的，要数其中最离谱的一个故事。一个叫庞蒂亚克的汽车品牌，被顾客投诉：每当我买香草冰激凌，汽车都不启动，但如果我买其他口味的冰激凌（草莓或巧克力），汽车就会很好地启动。离谱的是汽车工程师还真去调查了此事，更离谱的是此事得到了验证和解决，最最离谱的是，这件事竟然和数学中的一个概念叫 “独立条件” 有关系！具体的演算过程我就不剧透了（实在是超出了我的运算能力范畴），但结论就是 “在很多情况下，两个事件看似相关，实则关于另外一个事件条件独立。如果我们不挖掘背后的 “另外一个事件”，就很容易犯把 “相关性” 当成 “因果性” 的错误。关于看似相关的 “买香草冰激凌” 和 “汽车不启动” 这两件事的 “另外一个事件” 竟然是 “汽车气阻问题”。相信我，这对于一个对汽车一窍不通，且离开数学课堂已经 16 年的中年少女来说，这真的真的很离谱，很有趣，很惊奇，但并未感觉看不懂。 方法篇　用数学解决生活中的难题 如何用数学的方法减肥，吃炒三丁和数学有啥关系，沉迷赌博的人最终总会倾家荡产，甚至你还会读到《大学・中庸》，以为作者要弃 “理” 从 “文”…… 当我觉得已经足够离谱时，作者又一次没让我失望，那个把 “大象装进冰箱拢共分几步” 的经典小品的出现成功俘获了我，作者竟然能把它和找到函数 y=–x2+2x 的极值的方法联系到一起，并且这个方法可以应用到企业的产品开发、项目设计以及毕业生如何写论文。这个方法涉及到两种模式：步步为营和精益求精。“ 步步为营的模式，每一步都力求完美，上一步没做完不进行下一步；精益求精的模式并不要求把每一步都做到完美，而要求迅速走完一个完整的流程，然后反复迭代，不断提高。” 在很多情况下，用精益求精的模式通常可以得出更好的结果，你看它像不像我们常说的 “成长” 过程。此外，在这个章节里，作者还用模拟退火算法理性的分析了 “为什么年轻时应该多去闯闯”，太适合即将毕业或刚刚毕业不久，不知未来何去何从的年轻人，好好读一读。 学习篇　学习到底应该学什么 这是一本，不读到最后，你永远不知道还会有什么离谱的事情发生的书，你敢想吗？怎样读书看报才能进步最快，竟然和追剧有关系，相信我，如果你把这个方法应用到工作中，你的进步之快连你自己都不敢想，因为我的工作性质决定了我不自觉的应用了这个方法。忘了告诉你，我是一名期货分析师，日常的工作是预判期货的走势趋势，这和推测哪只股票会上涨在本质上没有太大区别。所以这本书，真的建议我的同行们或者投资股票、期货的人读一读，你会明白为何你总是被行情牵着鼻子走，并开始学习如何能走在行情的前头。在这个章节里，还包括 “大学究竟应该学什么？” 这样的 “灵魂拷问”。因为很多读过大学的人都知道，“在大学里学习的大部分课程，都和你未来在工作中要做的事情不相关。那么，这些课程究竟对他的将来有什么用呢？如果抛开为了保研或考研而努力学习这些课程的情况，我们又应该以怎样的态度对待这些课程呢？” 我想，如果我在大一时，就知道了答案，现在的我会不会不一样，虽然现在的状态我也很喜欢。那么上大学的终极目的是什么呢？书中同样给出了终极答案，学习什么不重要，应该着重于四种学习模式的训练：单任务学习、多任务学习、迁移学习和元学习，并且将这四种学习模式融合起来。“只有学会如何学习，掌握学习的方法论，才会成为更有潜力的人。” 我真的要力荐给每一个即将步入大学的孩子，当然即便你已经是在读大学生，甚至参加了工作，都同样适读，毕竟 “学会学习” 什么时候都不晚，而且受益终生。写在最后 & nbsp; 说实话，对于一个没被数学劝退的理科女生来说，初拿到此书时，和你一样，我真的在心里无数次吐槽，我到底造了什么孽，才会在生日时收到一本数学书作为生日礼物。但是当我一口气读完这本书时，收获的不仅是数学的唤醒，还有满满的感动，毕竟只有那个真正希望你好，希望你不断成长，并一直支持你、相信你、爱你的人，才会送这样的礼物啊。 《心中有数》不单单解惑了数学知识在日常生活中的应用，更大的启发在于作者刘雪峰老师用此书生动的演绎了到底什么才是 “世事洞明皆学问 “。只要你带着好奇、带着觉知、带着感受、带着体会，在任何一个你所热爱的领域用心深耕，那么我们是不是已经可以开始期待《心中有数》的姊妹篇：心中有诗、心中有画、心中有歌、心中有衣、心中有食、心中有住、心中有行等等等等，我相信每一个行业做到极致，必定是对生活有所悟的，而这一切的原点是 “心中有爱”。

看似讲数学，实则蕴含生活哲学，有趣易懂，拓展了思维认知。为什么有钱人并没有感觉特别幸福？为什么我们不能靠猜密码打开快递柜？为什么面对分手有的人觉得未必是件坏事，而有的人觉得是自己的问题而自责？原来这些事情背后都有着不同的数学知识。

作者用整本书给出了答案。透过数学概念背后的智慧，能够帮我们看清这个纷繁复杂的社会，明白了算法背后的奇妙，就能在生活中做决策的时候，多一个科学的视角。案例丰富又有趣，很多地方给人 “醍醐灌顶” 之感。适合放在案头不时翻看的一本书，简直是 “生活智慧锦囊”。

数学公式应用到生活中的例子有很多，本书只列举了一小部分，希望作者能出续集。我数学不好，书里一些复杂公式的推导我是直接跳过的，这不影响我学习书中精华

《心中有数》一书提供了丰富的思考角度和方法论，帮助我们在生活和工作中做出更明智的决策，提升个人的学习效率和解决问题的能力。汇总了书中的精华知识点，方便更好地理解和应用书中的概念和思想。1. 世界观与现实接受 - 平静接受现实：认识到生活中的不确定性，并积极行动以改变结果的概率。- 三种世界观：   - 事在人为：强调通过努力克服困难。  - 宿命论：认为一切都是命中注定。  - 概率的世界观：认识到结果往往是多种可能性的概率分布。2. 理论的预测与解释 - 好的理论：具备强大的预测能力，而非仅仅解释已知现象。- 科学方法：弗朗西斯・培根提出的五个步骤，强调预测的准确性。3. 多样性与卷积概念 - 多样性红利：多角度视野的结合得出全面结论。- 卷积概念：小而频繁的正面刺激比偶尔的大刺激更有效。4. 利与弊的三层思想 - 平衡观：事物都有优点和缺点。- 相对观：利与弊取决于具体情况。- 策略观：通过权衡利弊，实现最大化的利益。5. 世界的稀疏性 - 简单规则的普遍性：复杂现象背后由简单规则驱动。- 低概率事件的稀疏性：有效的信息只占很小一部分。- 信息的压缩性：去除冗余部分，保留重要信息。- 自然界的经济性：生物体采取最经济的方式。6. 条件独立与卡尔曼滤波器 - 条件独立：两个事件看起来有关联，实际上可能只是因为它们都与第三个事件有关。- 卡尔曼滤波器：递归滤波算法，用于动态系统状态的最优估计。7. 稳定与跃迁 - 稳定：维持系统的平衡状态。- 跃迁：系统状态的显著变化。- 负反馈与正反馈：维持稳定和推动发展。8. 设计的重要性 - 好的设计：底层设计是关键，优化应建立在坚实的基础之上。9. 模仿与创新 - 模仿：作为学习和创新的工具，而非简单复制。- 抓住本质：深入理解模仿对象的核心价值。10. 决策的时机 - 守成与冒险：结合基础概率和个人情况做出决策。11. 最小二乘估计与 “执两用中”- 最小二乘估计：寻找误差平方和的最小值。- “执两用中”：寻找平衡点，持中守正。12. 步步为营与精益求精 - 步步为营：每一步都精心打磨。- 精益求精：快速完成基本流程，不断迭代改进。13. 变换思维 - 问题解决：通过变换事物的形态来解决难题。14. 学习方法论 - 学习力强：听、想、变、用四个维度。- 选择学习方法：根据个人特点选择适合自己的学习方法。15. 清晰表达 - 矩阵的奇异值分解：启发如何清晰地表达一件事。

如果你喜欢数学，这本书会让你从生活中更加深刻地理解数学公式和定理；如果你害怕数学晦涩，这本书会让你开始爱上数学。

一提到数学，大家的脑海中可能不约而同会呈现出一副 “高冷” 的模样：不是冷冰冰的数学公式，就是令人头大的数学题，总归不让人觉得亲切。但其实，数学早已蕴藏在我们生活中的每一个角落，生活中处处有着它的 “影子”。从天上的星星呈点状、雪花是六边形，到日常生活中的柴米油盐、个人投资理财、 置业经商，都离不开数学。可以说，数学无处不在。它存在于广袤无垠的大自然中，存在于迅速发展的人类社会里，更存在于我们日常的思维方式中。《心中有数：生活中的数学思维》就是一本阐述数学哲理的科普书。作者刘雪峰老师将现实中的案例与数学原理相结合，巧妙地告诉读者日常的许多现象其实都蕴含着深刻的数学哲理，并帮助大家如何用数学思维来解决生活中遇到的问题。
1. 用数学思维看世界：让概率论告诉你，我们为什么要努力疫情当下，生活似乎充满了更多的不确定性，普通老百姓一直以来平稳的小日子也变得跌宕起伏。失业突如其来，贷款紧追不舍，婚姻爱情岌岌可危，生活草木皆兵。有的人选择 “事在人为”，积极奋斗，但是还是会被现实的无奈所打败；有的人则开始相信 “命运” 的安排，决定放弃努力，开始 “躺平”“摆烂”。刘雪峰老师在《心中有数：生活中的数学思维》一书中告诉我们：这两种世界观都存在着各自的弊端，正确的世界观应该介于两者之间，也就是 “概率的世界观”。因为，“事在人为” 的世界观未免过于乐观，毕竟并不是所有事情仅靠努力就能成功；而 “宿命论” 则把一切都交给上天的做法更是不太靠谱。概率的世界观和我们熟知的 “谋事在人，成事在天” 有很大的相通之处。但是有了概率这个工具，我们对于这句话就有了更清晰的理解：“谋事在人” 指的是我们通过努力，可以提高成功的概率；而 “成事在天” 则指的是既然以概率作为衡量标准，那么即使我们做得再好，也不能保证成功。所以，我们在看待这个世界的时候，要明白：很多事情的最终结果是我们不能保证的，但是，这个结果发生的概率是我们可以靠努力改变的。2. 用数学语言看生活：念念不忘，必有回响念念不忘，真的会必有回响吗？《心中有数：生活中的数学思维》一书中向读者介绍了 “大数定律”：只要一件事情发生的次数足够多，它出现某一个结果的频率就会等于其概率。也就是说，我们想要真正掌握某项技能或者做成一件事情，是需要多次不断地尝试和努力，通过量变达到质量，从而真的实现 “念念不忘，必有回响”。记得 2020 年自己刚接触新媒体写作时，加入了一个写作大咖的培训营，当时群里既有大神级别的高手，也有像我一样刚进入这一领域的 “小白”。刚开营的时候，大家都激情满满，每天斗志昂扬积极地完成作业。但是几天过去，群里就没有一开始那么热闹了，完成作业的人也越来越少。一周，半个月，三个月，一年......3 年过去了，我发现那些坚持下来的人，都成为了各平台的大 V，有的甚至被平台签约成为了专职写作者。这就是作者在《心中有数：生活中的数学思维》一书中告诉我们的道理：当你在一个专业领域里，持续不断地投入、深耕，慢慢地你就会发现自己在不断进步，并且超越周围的竞争者。就像在跨年演讲上，罗振宇介绍的人生算法公式：一个人的成就，来自一套核心算法乘以大量重复动作的平方。即使短期看不到效果，但只要秉持长期主义，不断地重复坚持，就一定会看到时间的价值。3. 用数学眼光看人生：“小确幸” 好过 “大幸福”
在现实生活中，我们经常听到一个词叫作 “小确幸”。该词最早来源于村上春树的随笔集《兰格汉斯岛的午后》，在文章中，村上说他自己选购内裤后，把洗涤过的洁净内裤卷摺好然后整齐的放在抽屉中，就是一种微小而真确的幸福与满足。小确幸是生活中小小的幸运与快乐，是流淌在生活的每个瞬间且稍纵即逝的美好，是内心的宽容与满足，是对人生的感恩和珍惜。刘雪峰老师在《心中有数：生活中的数学思维》这本书中提出了一个有趣的问题：偶尔的大幸福和频繁的小确幸，哪种更能使我们感到幸福？作者在这里用了一个很专业的数学原理 “卷积” 论证了这一问题：频繁的小确幸，确实能比偶尔的大幸福带来更多的幸福感。所谓 “卷积原理” 是指：连续不断地对系统进行输入，就会产生冲激效应。简单来说，任何让人觉得幸福的事件都是一次输入，大脑就好比一个 "系统"，“输出” 就是我们对于幸福的感觉。而在现实生活中，“金榜题名”“升职加薪”“买车买房” 这种大幸福并不会天天发生，一生也不过屈指可数。但吃到心仪的美食、读到一本有趣的书、看了一部让人放松惬意的电影、逛逛公园、和朋友约饭聚会等等这类 “小确幸” 却是我们可以自由掌控的。的确，小确幸可能远远不如大幸福带给我们的幸福感那么强烈，但是只要我们善于发现生活的美好，让小确幸频繁不断地发生，那么幸福感的输出就会不断地叠加，让我们始终处于幸福之中。不愧是 “中国好书” 榜单中唯一上榜的数学类普及读物，《心中有数：生活中的数学思维》这本书不仅消除了我们对于数学的偏见，更重要的是教会了我们如何运用数学的理性思维去看待世界、看待生活、看待幸福。正如作者所言：人生其实就是一个寻找最优解的过程，我们总是通过不断努力提升自己，在最后达到自己可能达到的最高位置。愿我们都能 “心中有数”，找到属于自己人生的最优解。

🔸不同角度达成的共识，往往更接近真相在工作和生活中，我们经常会面临要在多个方案或者人选中挑选 “最优方案”、“最佳人选”、“最佳……”，小时候还可以眼睛一闭的 “点兵点将” 小把戏来选择，但是随着年岁渐长，终归是要面临一些严肃或者认真的抉择的，那时候应该如何要在众多可能性中选择最适合自己，最适合当下情形的呢？      在一个项目进行招投标的评审过程中需要由临时组建的评审委员会来把关，而评审委员会的名单需要提前一天在专家库中摇取，并就几个不同的专业在各自对应的专家名单里随机摇取。评委委员会的专家由业内的资深人士组成，他们对于该项目需要的评审的岗位及工作内容的具体情况有充分的认识，在带着各自不同专业的角度面对面交流的时候更能判断竞标人实力的真实情况，也能为甲方找到更适合承接该项目的乙方。在线性代数中，有一个概念叫作 “病态方程组”，即一个线性方程组 y=Kx 中 y 和 K 的轻微变化会导致解 x 有极大变化。方程组中的每条直线都代表一个视角，而直线的交点就是在多个视角观察后达成的共识。而在有较大差别的角度下观察而达成的共识，才有意义。就如刘雪峰教授在《心中有数》中站在方程组的角度提出的，“任何人都可能会有认知盲点，而站在不同角度的人在一起讨论后达成的共识，往往最接近真相。这就是所谓的多样性红利。”🔸在不完美中迭代更新，寻找最优解      在产品开发以及项目完成阶段，有种模型被称为 “瀑布模型”，它是将整个研发过程分为多步，然后一步一个脚印，让每一步都做到完美，只有上一步指令完成后才可以进行到下一个指令中来。作者巧妙的将其比喻成 “步步为营” 模式，可是这种模式会有个弊端，如果开发时间过长，并没有及时的得到市场的反馈，很大几率等到最后成品问世的时候无法对应现时市场的实际需求了，甚至已经被淘汰了。这时候，另一种在产品开发中被称为 “敏捷模型” 的方案，作者将其比喻成 “精益求精” 模式，却是要尽可能地先做出一个 “最小可行产品”，然后不断迭代来完善和改进，因为在研发阶段都在不停的收集商品反馈以及调研，所以在产品面试以后依然能够顺利被市场所适应与接受。从这个意义上来讲，在最初迅速完成第一版是极为重要的。《心中有数》就这两种情况，用寻找极值的方式，让我们理解函数解析的真正含义。如果函数表达方式简单，即 Y=-2x+2，可以直接通过 “令导数为零” 来求解，但是这种简单轻松的问题在现实中其实遇到的的确不多，并且限制条件也多。相反，我们碰到的更多的是要通过 “数值解法” 的方式来解决。随便猜测一个 X 的值，并且通过逐步迭代增加 X 值来试图逼近最大值，并不求一步到位，这就跟产品研发时候用的 “敏捷模型” 有异曲同工之妙。      同样在 y=-2x+2 的函数方程中，提到了 3 种解法，包括解析解、梯度法和爬山法。通常将 “令导数为零” 的求解方式称为 “解析解”，但是此解的条件极为严苛。这时候，就得通过随意猜测 X 值并逐步叠加数值的 “梯度法” 以及通过直接比较两个函数值的 “爬山法” 来求出极值。对于初入社会的职场新人，《心中有数》提出他们可以先采用 “梯度法” 在工作中 “找准方向，精益求精”，在有了确切方向后，只要做到精益求精，才有可能更接近最优解。此外，第三种的 “爬山法” 就像是我们平时爬山一样，每一次前进站得都会比之前位置高。初入职场后，需要不停的升级自己力求走的更远。但若要从一个顶点跳到另一个更高的顶点，跨过一个质的飞越时，或许需要走过这之间的一段下坡路，以一种曲线救国的方式达到另一座顶峰。这时刘雪峰教授提出的 “以一定概率接受暂时的不完美” 的概念，也就是计算机领域著名的 “模拟退火算法” 来给职场人士提出意见：“人生其实是一个寻找最优解的过程。一开始谁都不是完美的，但是我们可以不断努力提升自己，最后的目标是达到自己可能到达的最优位置。”      只是通过一个函数方程，却能辐射出如此多的人生哲理和决策方式，所有算法的背后智慧都能给我们生活以启迪。年轻的时候试错成本低，我们可以不断的尝试各种职业，在不完美中不停的进行更新、升级。在《心中有数》中，刘雪峰教授还结合了 “元学习” 和 “迁移学习” 的学习方法，从而提升底层能力，能激发个人潜能且始终保持热情的工作！无论是数学学霸还是曾经的数学学渣，希望通过用数学的视角来看一看周围的人事物，相信心中也别有一番数数。