学霸和做题家的区别，就是然和所以然的区别。想起有一次给一个初中孩子讲流体压强的问题，他没法理解为什么流速大的压强反而小。这个问题虽然也不难解释，但如何能让他深刻理解，才是我想要的。于是，我尝试给他用极限思维来引导，没想到，他从此对这个问题完全理解，再也不会做错题目了。微积分的发展史，也是极限思维的不断进步。无数天才的数学家们，在这个古老的问题上不断探索。现在有种现象，只要有很多人都去做一件事时，就有人会说：你看，这是内卷！但事实上并不是这样吧？有的东西，就是得千万人同往，才能取得最后的成功。看完本书，最震撼的，并不是阿基米德们的先知先觉，也不是费马笛卡尔们的天才较量，而是微积分发展到当今，大规模计算机和无数工程师对微积分的广泛使用，在工程师手里，微积分把变化分为有序和无序，把运动拆解成状态和趋势，让不确定的世界变得更 “可控” 一点，帮助人们用微小的信息来控制巨大的能量…… 这一切真的很伟大，而跟内卷无关。我相信，在未来微积分可能还会给我们带来惊喜。这本书也真的遇到太晚了，我准备把它介绍给高中娃们看看。

这是至今我见过的最专业，也是最接地气的，解释地最深入浅出的、同时也乐趣横生的微积分科普书。

《黑天鹅》作者纳西姆・尼古拉斯・塔勒布对这本书的评价是：“高能预警：这是一本危险的书。它会让你爱上数学，甚至有可能把你变成一位数学家。” 是的，这是一本关于微积分如何帮助人类探索自然和世界、展开科技发明和创新，从而推动人类文明进程的科普读物，它也是一本讲述阿基米德、毕达哥拉斯、牛顿、伽利略、开普勒等鼎鼎有名的人物如何解开了曲线之谜、运动之谜和变化之谜的科学史著作。 在人类文明进程中的这些具有里程碑意义的发明和发现背后，微积分究竟扮演了什么样的角色？围绕曲线之谜、运动之谜和变化之谜，毕达哥拉斯、阿基米德、伽利略、开普勒、牛顿、莱布尼茨、爱因斯坦、薛定谔等如何用微积分的 “钥匙” 打开了宇宙奥秘之 “锁”？这些谜题的解决方案对人类文明的进程和我们的日常生活又产生了什么样的深远影响？ 在《微积分的力量》书中，应用数学家兼 “导游” 斯托加茨将用一种 “讲故事” 和 “看展览” 的方式为你一一揭晓答案。“我们不必为了理解微积分的重要性而学习如何做运算，就像我们不必为了享用美食而学习如何做佳肴一样。我将借助图片、隐喻和趣闻逸事等，尝试解释你们需要了解的关于微积分的知识。我也会给你们介绍有史以来颇为精致的一些方程和证明，就像我们在参观画展的时候不会错过其中的代表作一样。” 因此，哪怕对数学及其在这个世界上扮演的角色只有一点点好奇心，都可以读这本书。

物理学家理查德・费曼说微积分是上帝的语言。这是因为微积分虽然是逻辑推理的产物，但是却能精确地描述和预测大自然的现象。这本书的引言部分是全书的精华，它清楚地描述了微积分的方法论和能解决的问题。微积分的方法论就是分治思想，以无穷小为基本单元，把复杂问题分解成无穷多个子问题，在无穷小的尺度上子问题得以简化，求解子问题之后，再把答案拼凑起来，就得到了原问题的解。微积分能解决的问题包括曲线问题、运动问题和变化问题。人们最早研究的问题是曲线问题，公元前 250 年的古希腊人并不知道曲线能解决什么具体问题，研究这个问题纯粹是出于好奇，在他们之中，成就最高的当属阿基米德，他在数学上的贡献为积分学铺平了道路。16 世纪时，伽利略开始研究抛物运动，开普勒开始研究行星运动，他们发现运动问题恰恰需要通过曲线来描述。在他们之后的牛顿和莱布尼茨，真正开创了微积分，2000 多年来难倒无数数学家的曲线问题迎刃而解。今天，微积分被用来发现变化的规律，比如人口增长的规律、流行病传播的规律等等。我读《微积分的力量》，本来的目的是想了解微积分的应用，但是却被作者讲述的微积分历史吸引了，其中有三点让我印象深刻。第一，微积分的发展得益于 XY 平面的出现，它让方程变得具体而生动。XY 平面把几何和代数联系在了一起，代数问题可以用几何图形来表示，几何问题可以用代数运算来求解。曲线问题本来是几何问题，解决几何问题往往需要神来之笔，但是转换成代数问题后，就变成了按套路揉捏方程，解决起来容易得多。回想我自己学习微积分时，就常常需要借助函数的图像回忆函数的性质，通过代数运算化简积分问题。第二，牛顿对于微积分的贡献比莱布尼茨大，他让世人改变观念，相信数学和逻辑决定了大自然的运转规律。但是相比牛顿的微积分，莱布尼茨的微积分更容易理解，也更值得学习。通过莱布尼茨的方法，我们可以轻松地理解微积分基本定理，而且书中还讲述了莱布尼茨是如何通过 “伸缩和” 发现微积分基本定理的。在《普林斯顿微积分读本》中也讲了微积分基本定理和 “伸缩和”，但远不如《微积分的力量》中讲述得精彩。第三，微积分的定义限定了它只解决连续体的问题，不过对于一些离散体，我们可以假装他们是连续体，来用微积分求解。比如无穷级数求和，可以转换成曲线下面积的计算。比如空间上存在普朗克长度，是不可再分的极小尺度，但是我们假装它能无限细分。这种谎言反而带来真相，让我们得出正确的答案。读完这本书，我发现原来我们的生活中充满了微积分的运用，微波炉、GPS、艾滋病病毒控制等等，都离不开微积分的理论支持。今天，很多问题的求解需要用到偏微分方程，这种方程含有多个自变量，它带来两个后果，第一，需要大量的运算，所以必须依靠计算机，第二，问题变成了多维问题，结果难以可视化，也难以理解。我不知道你由此联想到什么，我想到的是机器学习。

这本《微积分的力量》，我个人认为是应用数学科普的巅峰之作。为什么这么说，它几乎没有用太多公式，就把微积分讲明白了。不仅讲明白了，还告诉你，微积分如何运用于人脸重塑；如何运用于计算行星轨道，发现开普勒三定律；偏微分方程，如何让何大一找到了测量艾滋病毒的方法，发现了鸡尾酒疗法；如何用微积分解决空气动力学问题，制造波音 787；微积分怎么帮助做微波炉；怎么做出了 CT；在这本书里，无穷多边形，芝诺悖论，阿基米德方法，奇数定律，代数与几何，费马与笛卡尔，幂函数，指数，面积，牛顿的微积分方法，非线性，混沌，庞加莱图，这些数学的名词，都融入了有趣的人类历史：从桥梁建造到圆周率计算，从做动画片到天气预报，从行李箱优化到独立宣言，从弦理论到 DNA 缠绕数。人类的历史与微积分巧妙的融合起来。我个人认为，这本书，每一个，每一个知识分子都应该看一遍。特别是大学生！！帮你把数学与人类文明的关系彻底打穿了。我肯定要从头读到尾的。

费曼的那句妙语 “微积分是上帝的语言”，引出了许多深奥的问题。什么是微积分？人类如何断定它是上帝的语言（或者说，宇宙基于这种语言在运转）？什么是微分方程？在牛顿的时代和我们的时代，微分方程为世界带来了什么？最后，这些故事和观点如何能被有趣且清楚易懂地传达给像赫尔曼・沃克那样的友善读者呢，他们勤于思考、充满好奇心、知识渊博但几乎没有学过高等数学？

40 岁的人了，大学也曾经用两年学过微积分，但现在居然一点印象都没有了。    感谢这本书和作者，让我从根源了解了微积分，我在想，如果大学的时候老师也是先讲问题，再由困难提出解决方法，我一定会更早的体会到微积分的简单轻巧，方便快捷。    任何工具都是为了一个困难的问题而创造出来的捷径，微积分看似复杂，而他解决的问题是复千万倍的宇宙谜题。     这是学会微积分的最好读物，推荐你也来读一读。

微积分有点像是人类在不经意间发现了一种奇怪的语言，它是一个由符号和逻辑构成的想象领域，而大自然则是一个由力和现象构成的现实领域。神奇的地方就在于，如果从现实世界到想象领域的转换足够巧妙，人们就可以把一个经过长期观察，总结出来的经验性的规律，用某种数学符号来表示。然后通过一系列计算或逻辑推理，得出来另一个经验规律。这个经验规律有可能是人们已经知道的，也有可能完全是新的，是还没有人知道的关于大自然的奥秘。

这是一本关于微积分的大众读物。作者写作本书的目标是，将微积分作为一个整体呈现在读者面前，让读者感受它的美、统一和壮观。本书没有晦涩的理论，都是一个个关于微积分的经典案例，很多案例未读本书之前都没有想到会和微积分相关，可以看出微积分无处不在。值得阅读。

一直都对微积分理解不透，看完这本书后，感觉可以跟孩子们聊一聊了。

在这本书中，斯托加茨抛开各种理论公式不谈，用一种特别接地气的方式，为我们讲述了在人类文明进程中，微积分到底扮演了什么样的角色？对我们的日常生活又产生了怎样的影响？本书的核心内容：微积分在人类文明进程中，解决的三个大难题，从而实现的一次次突破和发展。它们分别是：曲线之谜、运动之谜和变化之谜。在人类文明进程中，有三个谜题促进了微积分的发展，它们分别是曲线之谜、运动之谜和变化之谜。那么，未来，微积分有没有可能发挥出更大的力量，带着人类走向更远？答案当然是肯定的。微积分的核心价值，就是把复杂的难题拆分成无穷多个简单的小部分，迈出最最简单的第一步，也就意味着我们已经走在了通往珠穆朗玛峰的路上。其实微积分颠覆了人类理解世界的方式。过去，我们看待事物是凭借经验主义，是粗糙的。而微积分架起了自然世界与科学世界之间的一座桥梁。说个可能不太恰当的比方，微分，让我们找到了一种，能够精准描绘瞬间的方式。而积分，就是把无数个瞬间加和在一起，让人类找到一个可以精准描绘现实和预测未来的方式。

分而治之，合而为一。细分看到结构，组合看到整体。微积分也体现了第一性原理。只有能分，就能解决！

《微积分的力量》这本书作者以较为通俗的语言来讲述与微积分相关的概念、公式和推导过程，可即便这样，对于我来说，读起来还是相当有难度的。我感觉要想轻松地读完这本书，其物理数学方面能力应在大学水平附近。我读这本完全是瞎掺和 [捂脸]。        整本书读下来，虽然一些数学专业知识方面的内容不太理解，但是作者对微积分的喜爱之情是几乎充满字里行间的。整本书主要讲述了 “微积分” 的演化史以及 “微积分” 给人类社会尤其是现代社会做的贡献。像军事、医疗、计算机、天气预报、金融、动漫等各个领域都在运用 “微积分” 演算建模，用作者的话说几乎是 “没有微积分就没有现代社会”（作者对微积分的喜爱程度可见一斑）。        关于微积分的演化史，作者主要是通过几个人物成长史来呈现的，可谓是彼此交错融合。印象较深的有阿基米德，虽然那个时候他还不知道他使用的方法（无限逼近）在后世被称为微分和积分，但他真的是那个时代最聪明的人了，并且在他之后近两千年内无人超越。阿基米德之后介绍了伽利略和开普勒，还写了费马和笛卡尔在这个过程中的贡献，然后花了较多笔墨在牛顿和莱布尼茨身上，这两位用各自的方法论证了微积分基本定理（不过牛顿的方法我不能完全理解，莱布尼茨的方法我居然能看懂）。后来又写了傅里叶及一些近现代物理大咖们在微积分领域的贡献。        在作者介绍微积分的强大功能和作用的基础上，也客观地告诉我们微积分在有些问题面前依然无能为力。        在这本关于数学的著作中，提到了两位中国人，一个是刘徽，一个是祖冲之。为他们点赞 [强]。

如果一个人得了艾滋病，一般会经历三个阶段。第一个阶段，大约几周的急性期，人们会出现 类似于流感的症状，通过自身免疫系统的工作，这些症状慢慢消失。很多人以为自己痊愈了。到了第二个阶段，会进入长达数十年的无症状期，一旦这个无症状期结束，进入到第三个阶段，病情会来势汹汹，在短时间内病人可以死亡。这么一个诡异的疾病，让人无法理解。以前的人们谈艾色变，情有可原。但是如今，自打鸡尾酒疗法问世之后，艾滋病慢慢变得能够治疗，改变了人们对艾滋病的看法。这里面的转变取决于一项研究，1995 年左右，科学家利用微积分方程，构建了一个病毒浓度变化模型。通过计算，发现在艾滋病数十年的无症状期，病毒并不是人们理解的被完全消灭了，而是病毒产生的速度与人体免疫系统清除它们的速度一样快。看似平静的无症状期，患者体内持续发生着一场大规模的战争。人体的免疫系统与病毒进行胶着战，这才是真相。因此，科学家提出，在第一阶段，就应该给予免疫系统尽可能多的帮助，联合多种药物，打垮和抑制艾滋病病毒。在这项研究中，起到关键作用的是微积分，它让艾滋病成为一种可控制的慢性病，给人带来治愈的希望。这只是微积分在现实中应用的一个例子，这个例子也离我们普通人的生活有些遥远。这本书的作者用一句话说清楚了微积分的核心价值，那就是让复杂的难题简单化。微分是一种局部操作，把一个复杂问题分解成无穷小问题，找到这个微小问题的答案，然后通过积分，重新组合起来。积分是一种整体操作。微积分的思维模式，能帮我们在面对一座珠穆朗玛峰时，有勇气迈出第一步。〈🌹WX:DoctorCC，好书不错过🙆〉

没有微积分，我们就不会拥有手机、计算机和微波炉，也不会拥有收音机、电视、为孕妇做的超声检查，以及为迷路的旅行者导航的 GPS（全球定位系统）。我们更无法分裂原子、破解人类基因组或者将宇航员送上月球，甚至有可能无缘于《独立宣言》。有一种罕见而有趣的历史观点认为，世界被一个神秘的数学分支彻底改变了。一个最初与形状相关的理论，最终又如何重塑了文明？

孩子出生之后，家里卧室就贴了 1-9 和 0 十个数字（顺序就是 0 放在最后），其他的东西都拿掉了。他很小就对算数很感兴趣，数学成绩也很好，不知道跟这个有没有关系。前一阵子带娃听吴军老师的《数学通识》课（没听完哈，娃上初一还听不懂那么多😌），后来买了远山启的《数学与生活》，三卷本的，但是没时间看。最后选择另外一本不太知名的数学史，看完以后，我发现孩子的数学兴趣突然变得高涨起来，自己去 bilibili 看 “一数” 老师的数学视频，数学成绩也变得非常稳固。有一天他说有两个符号他一直觉得很美，就是∑和∫，不知道是什么意思，想研究研究，凑巧刷到了樊登读书有推荐这本《微积分的力量》，就买了纸质，我也读电子书陪他一起。总体感受是：以前学过那么多东西，底层逻辑竟然是通的。微积分是野兽，某种意义上也是驯兽师。它不好驯服，又种类繁多，但一有突破就会 “驯服” 更多的野兽，军事、医学、宇宙学等等。读了这本书我对万维钢老师所说的：宇宙本质上数学的（可能是这么说的），有了更深入的了解。

作者以微积分的发展历史进行科普，让我们了解数学，了解世界，与其说是科普书，不如说是微积分的思维方法论，用微分积分的方法方式去打开和塑造这个世界，并对我们日常生活的影响是有深远意义的，不管是因繁求简，还是执简索繁，人类文明推动的过程中来源于思维。而微积分的底层思维导图（从实虚，大小，有无，整局）等各个方面，如何广泛的运用和提升，如何有自己一套切割和整合的系统（特别是微分中将极限想象为 0 这一欲望），才是我们该学习的。

看完这本书，我已经看到了游戏引擎中各种应用了偏微分方程的模拟仿真在等着我 [让我看看][捂脸]。话说还是牛顿厉害，基本上算是一己之力构筑了机械论因果世界的奠基人。后世的哲学家大多受到了他的影响和鼓励，启蒙主义的诞生他起到了巨大的示范作用 [加油][加油]

一本微积分的科普读物，文字优美，有个别地方比较专业。书中介绍的一些背景知识，以及一些历史细节，对于我这样教学微积分的老师还是很有用的。

这是解密宇宙的钥匙，因为是大众读物，还是可以一读的，不难理解。