自然科学总论 类型
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246千字 字数
2025-02-01 发行日期
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主编推荐语

数学证明演变史，探索数学思想与大师发现。

内容简介

证明是数学思想中十分重要且极具开拓性的特征之一。没有证明，我们就无法谈论真正的数学。

本书从古希腊几何学时代讲起，涵盖代数、微积分、集合、数论、拓扑、逻辑等几乎全部数学分支中的证明故事，讲述了证明的演变及其在数学中的重要作用和启发意义。我们将看到欧几里得、康托尔、哥德尔、图灵等数学大师的精彩发现和发明。本书不是教材，而是在讲数学的历史，更是在讲数学思想的演变。

作者揭示了数学学习和研究的底层方法和逻辑，让读者看到在数学中什么定理可以被证明、如何证明，以及什么问题可以（或无法）被解决，为数学研究和发展提供了全新的视角。

目录

  • 版权信息
  • 内容提要
  • 序言
  • 第1章 欧几里得之前
  • 1.1 勾股定理
  • 1.2 勾股数组
  • 1.3 无理数
  • 1.4 从无理数到无穷
  • 1.5 对无穷的敬畏
  • 1.6 欧多克斯
  • 1.7 附注
  • 第2章 欧几里得
  • 2.1 定义、定理和证明
  • 2.2 等腰三角形定理与SAS
  • 2.3 平行公设的变体
  • 2.4 再谈勾股定理
  • 2.5 代数概览
  • 2.6 数论与归纳法
  • 2.7 几何级数
  • 2.8 附注
  • 第3章 欧几里得之后
  • 3.1 关联
  • 3.2 顺序
  • 3.3 合同
  • 3.4 完备
  • 3.5 欧几里得平面
  • 3.6 三角形不等式
  • 3.7 射影几何
  • 3.8 帕普斯定理和德萨格定理
  • 3.9 附注
  • 第4章 代数
  • 4.1 二次方程
  • 4.2 三次方程
  • 4.3 作为“普遍算术”的代数
  • 4.4 多项式与对称函数
  • 4.5 近世代数：群
  • 4.6 近世代数：域与环
  • 4.7 线性代数
  • 4.8 近世代数：向量空间
  • 4.9 附注
  • 第5章 代数几何
  • 5.1 圆锥曲线
  • 5.2 费马和笛卡儿
  • 5.3 代数曲线
  • 5.4 三次曲线
  • 5.5 贝祖定理
  • 5.6 线性代数和几何
  • 5.7 附注
  • 第6章 微积分
  • 6.1 从列奥纳多到哈里奥特
  • 6.2 无穷求和
  • 6.3 牛顿的二项式级数
  • 6.4 巴塞尔问题的欧拉解法
  • 6.5 变化率
  • 6.6 面积和体积
  • 6.7 无穷小代数和几何
  • 6.8 级数微积分
  • 6.9 代数函数及其积分
  • 6.10 附注
  • 第7章 数论
  • 7.1 初等数论
  • 7.2 再谈勾股数组
  • 7.3 费马最后定理
  • 7.4 数论中的几何与微积分
  • 7.5 高斯整数
  • 7.6 代数数论
  • 7.7 代数数域
  • 7.8 环和理想
  • 7.9 整除和素理想
  • 7.10 附注
  • 第8章 代数基本定理
  • 8.1 在证明之前的定理
  • 8.2 代数基本定理的早期“证明”及其漏洞
  • 8.3 连续性和实数
  • 8.4 戴德金对实数的定义
  • 8.5 代数学家的基本定理
  • 8.6 附注
  • 第9章 非欧几里得几何
  • 9.1 平行公设
  • 9.2 球面几何
  • 9.3 球面几何的平面模型
  • 9.4 微分几何
  • 9.5 常曲率几何
  • 9.6 贝尔特拉米的双曲几何模型
  • 9.7 复数的几何
  • 9.8 附注
  • 第10章 拓扑学
  • 10.1 图
  • 10.2 欧拉多面体公式
  • 10.3 欧拉示性数和亏格
  • 10.4 作为曲面的代数曲线
  • 10.5 曲面的拓扑
  • 10.6 曲线奇点和纽结
  • 10.7 赖德迈斯特移动
  • 10.8 简单的纽结不变量
  • 10.9 附注
  • 第11章 算术化
  • 11.1 ℝ的完备性
  • 11.2 直线、平面和空间
  • 11.3 连续函数
  • 11.4 定义“函数”和“积分”
  • 11.5 连续性和可微性
  • 11.6 一致性
  • 11.7 紧致性
  • 11.8 编码连续函数
  • 11.9 附注
  • 第12章 集合论
  • 12.1 无穷简史
  • 12.2 等势集合
  • 12.3 与ℝ等势的集合
  • 12.4 序数
  • 12.5 用集合实现序数
  • 12.6 根据秩对集合排序
  • 12.7 不可达性
  • 12.8 无穷的悖论
  • 12.9 附注
  • 第13章 数、几何和集合的公理
  • 13.1 皮亚诺算术
  • 13.2 几何公理
  • 13.3 实数的公理
  • 13.4 集合论的公理
  • 13.5 附注
  • 第14章 选择公理
  • 14.1 选择公理和无穷
  • 14.2 选择公理和图论
  • 14.3 选择公理和分析学
  • 14.4 选择公理和测度论
  • 14.5 选择公理和集合论
  • 14.6 选择公理和代数学
  • 14.7 更弱的选择公理
  • 14.8 附注
  • 第15章 逻辑与计算
  • 15.1 命题逻辑
  • 15.2 命题逻辑的公理
  • 15.3 谓词逻辑
  • 15.4 哥德尔完备性定理
  • 15.5 逻辑归约为计算
  • 15.6 可计算枚举集
  • 15.7 图灵机
  • 15.8 半群的字问题
  • 15.9 附注
  • 第16章 不完全性
  • 16.1 从不可解性到不可证性
  • 16.2 句法的算术化
  • 16.3 根岑对PA一致性的证明
  • 16.4 算术中暗含的ε0
  • 16.5 可构造性
  • 16.6 算术概括
  • 16.7 弱柯尼希引理
  • 16.8 五大子系统
  • 16.9 附注
  • 参考文献
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出版方

人民邮电出版社

人民邮电出版社是工业和信息化部主管的大型专业出版社，成立于1953年10月1日。人民邮电出版社坚持“立足信息产业、面向现代社会、传播科学知识、服务科教兴国”，致力于通信、计算机、电子技术、教材、少儿、经管、摄影、集邮、旅游、心理学等领域的专业图书出版。