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主编推荐语

复分析领域名著,开创了数学领域的可视化潮流。

内容简介

本书是在复分析领域产生了广泛影响的一本著作。作者独辟蹊径,用丰富的图例展示各种概念、定理和证明思路,十分便于读者理解,充分揭示了复分析的数学美。书中讲述的内容有作为变换看的复函数、默比乌斯变换、微分学、非欧几何学、环绕数、复积分、柯西公式、向量场、调和函数等。

目录

  • 版权信息
  • 版权声明
  • 献词
  • 翻译说明
  • 前言
  • 致谢
  • 第1章 几何和复算术
  • 1.1 引言
  • 1.1.1 历史的概述
  • 1.1.2 庞贝利的“奇想”
  • 1.1.3 一些术语和记号
  • 1.1.4 练习
  • 1.1.5 符号算术和几何算术的等价性
  • 1.2 欧拉公式
  • 1.2.1 引言
  • 1.2.2 用质点运动来论证
  • 1.2.3 用幂级数来论证
  • 1.2.4 用欧拉公式来表示正弦和余弦
  • 1.3 一些应用
  • 1.3.1 引言
  • 1.3.2 三角
  • 1.3.3 几何
  • 1.3.4 微积分
  • 1.3.5 代数
  • 1.3.6 向量运算
  • 1.4 变换与欧氏几何*
  • 1.4.1 克莱因眼中的几何
  • 1.4.2 运动的分类
  • 1.4.3 三反射定理
  • 1.4.4 相似性与复算术
  • 1.4.5 空间复数
  • 1.5 习题
  • 第2章 作为变换看的复函数
  • 2.1 引言
  • 2.2 多项式
  • 2.2.1 正整数幂
  • 2.2.2 回顾三次方程*
  • 2.2.3 卡西尼曲线*
  • 2.3 幂级数
  • 2.3.1 实幂级数的神秘之处
  • 2.3.2 收敛圆
  • 2.3.3 用多项式逼近幂级数
  • 2.3.4 唯一性
  • 2.3.5 对幂级数的运算
  • 2.3.6 求收敛半径
  • 2.3.7 傅里叶级数*
  • 2.4 指数函数
  • 2.4.1 幂级数方法
  • 2.4.2 这个映射的几何意义
  • 2.4.3 另一种方法
  • 2.5 余弦与正弦
  • 2.5.1 定义与恒等式
  • 2.5.2 与双曲函数的关系
  • 2.5.3 映射的几何
  • 2.6 多值函数
  • 2.6.1 例子:分数幂
  • 2.6.2 多值函数的单值支
  • 2.6.3 与幂级数的关联
  • 2.6.4 具有两个支点的例子
  • 2.7 对数函数
  • 2.7.1 指数函数的逆
  • 2.7.2 对数幂级数
  • 2.7.3 一般幂级数
  • 2.8 在圆周上求平均值*
  • 2.8.1 质心
  • 2.8.2 在正多边形上求平均值
  • 2.8.3 在圆周上求平均值
  • 2.9 习题
  • 第3章 默比乌斯变换和反演
  • 3.1 引言
  • 3.1.1 默比乌斯变换的定义和意义
  • 3.1.2 与爱因斯坦相对论的联系*
  • 3.1.3 分解为简单的变换
  • 3.2 反演
  • 3.2.1 初步的定义和事实
  • 3.2.2 圆周的保持
  • 3.2.3 用正交圆周构做反演点
  • 3.2.4 角的保持
  • 3.2.5 对称性的保持
  • 3.2.6 对球面的反演
  • 3.3 反演应用的三个例子
  • 3.3.1 关于相切圆的问题
  • 3.3.2 具有正交对角线的四边形的一个奇怪的性质
  • 3.3.3 托勒密定理
  • 3.4 黎曼球面
  • 3.4.1 无穷远点
  • 3.4.2 球极射影
  • 3.4.3 把复函数转移到球面上
  • 3.4.4 函数在无穷远点的性态
  • 3.4.5 球极射影的公式*
  • 3.5 默比乌斯变换:基本结果
  • 3.5.1 圆周、角度和对称性的保持
  • 3.5.2 系数的非唯一性
  • 3.5.3 群性质
  • 3.5.4 不动点
  • 3.5.5 无穷远处的不动点
  • 3.5.6 交比
  • 3.6 默比乌斯变换作为矩阵*
  • 3.6.1 与线性代数的联系的经验上的证据
  • 3.6.2 解释:齐次坐标
  • 3.6.3 特征向量与特征值*
  • 3.6.4 球面的旋转作为默比乌斯变换*
  • 3.7 可视化与分类*
  • 3.7.1 主要思想
  • 3.7.2 椭圆型、双曲型和斜驶型变换
  • 3.7.3 乘子的局部几何解释
  • 3.7.4 抛物型变换
  • 3.7.5 计算乘子*
  • 3.7.6 用特征值解释乘子*
  • 3.8 分解为2个或4个反射*
  • 3.8.1 引言
  • 3.8.2 椭圆型情形
  • 3.8.3 双曲型情形
  • 3.8.4 抛物型情形
  • 3.8.5 总结
  • 3.9 单位圆盘的自同构*
  • 3.9.1 计算自由度的数目
  • 3.9.2 用对称原理来求公式
  • 3.9.3 最简单的公式的几何解释*
  • 3.9.4 介绍黎曼映射定理
  • 3.10 习题
  • 第4章 微分学:伸扭的概念
  • 4.1 引言
  • 4.2 一个令人迷惑的现象
  • 4.3 平面映射的局部描述
  • 4.3.1 引言
  • 4.3.2 雅可比矩阵(1)
  • 4.3.3 伸扭的概念
  • 4.4 复导数作为伸扭
  • 4.4.1 重新考察实导数
  • 4.4.2 复导数
  • 4.4.3 解析函数
  • 4.4.4 简短的总结
  • 4.5 一些简单的例子
  • 4.6 共形 = 解析
  • 4.6.1 引言
  • 4.6.2 在整个区域中的共形性
  • 4.6.3 共形性与黎曼球面
  • 4.7 临界点
  • 4.7.1 挤压的程度
  • 4.7.2 共形性的破坏
  • 4.7.3 支点
  • 4.8 柯西—黎曼方程
  • 4.8.1 引言
  • 4.8.2 线性变换的几何学
  • 4.8.3 柯西—黎曼方程
  • 4.9 习题
  • 第5章 微分学的进一步的几何研究
  • 5.1 柯西—黎曼的真面目
  • 5.1.1 引言
  • 5.1.2 笛卡儿形式
  • 5.1.3 极坐标形式
  • 5.2 关于刚性的一个启示
  • 5.3 log(z)的可视微分法
  • 5.4 微分学的各法则
  • 5.4.1 复合
  • 5.4.2 反函数
  • 5.4.3 加法与乘法
  • 5.5 多项式、幂级数和有理函数
  • 5.5.1 多项式
  • 5.5.2 幂级数
  • 5.5.3 有理函数
  • 5.6 幂函数的可视微分法
  • 5.7 exp(z)的可视微分法
  • 5.8 E' = E的几何解法
  • 5.9 高阶导数的一个应用:曲率*
  • 5.9.1 引言
  • 5.9.2 曲率的解析变换
  • 5.9.3 复曲率
  • 5.10 天体力学*
  • 5.10.1 有心力场
  • 5.10.2 两类椭圆轨道
  • 5.10.3 把第一种椭圆轨道变为第二种
  • 5.10.4 力的几何学
  • 5.10.5 一个解释
  • 5.10.6 卡斯纳—阿诺尔德定理
  • 5.11 解析延拓*
  • 5.11.1 引言
  • 5.11.2 刚性
  • 5.11.3 唯一性
  • 5.11.4 恒等式的保持
  • 5.11.5 通过反射做解析延拓
  • 5.12 习题
  • 第6章 非欧几何学*
  • 6.1 引言
  • 6.1.1 平行线公理
  • 6.1.2 非欧几何的一些事实
  • 6.1.3 弯曲曲面上的几何学
  • 6.1.4 内蕴几何与外在几何
  • 6.1.5 高斯曲率
  • 6.1.6 常曲率曲面
  • 6.1.7 与默比乌斯变换的联系
  • 6.2 球面几何
  • 6.2.1 球面三角形的角盈
  • 6.2.2 球面上的运动:空间旋转和反射
  • 6.2.3 球面上的一个共形映射
  • 6.2.4 空间旋转也是默比乌斯变换
  • 6.2.5 空间旋转与四元数
  • 6.3 双曲几何
  • 6.3.1 曳物线和伪球面
  • 6.3.2 伪球面的常值负曲率*
  • 6.3.3 伪球面上的共形映射
  • 6.3.4 贝尔特拉米的双曲平面
  • 6.3.5 双曲直线和反射
  • 6.3.6 鲍耶—罗巴切夫斯基公式*
  • 6.3.7 保向运动的三种类型
  • 6.3.8 把任意保向运动分解为两个反射
  • 6.3.9 双曲三角形的角盈
  • 6.3.10 庞加莱圆盘
  • 6.3.11 庞加莱圆盘中的运动
  • 6.3.12 半球面模型与双曲空间
  • 6.4 习题
  • 第7章 环绕数与拓扑学
  • 7.1 环绕数
  • 7.1.1 定义
  • 7.1.2 “内”是什么意思?
  • 7.1.3 快速地求出环绕数
  • 7.2 霍普夫映射度定理
  • 7.2.1 结果
  • 7.2.2 环路作为圆周的映射*
  • 7.2.3 解释*
  • 7.3 多项式与辐角原理
  • 7.4 一个拓扑辐角原理*
  • 7.4.1 用代数方法来数原象个数
  • 7.4.2 用几何方法来数原象个数
  • 7.4.3 解析函数在拓扑上有何特殊
  • 7.4.4 拓扑辐角原理
  • 7.4.5 两个例子
  • 7.5 鲁歇定理
  • 7.5.1 结果
  • 7.5.2 代数基本定理
  • 7.5.3 布劳威尔不动点定理*
  • 7.6 最大值与最小值
  • 7.6.1 最大模原理
  • 7.6.2 相关的结果
  • 7.7 施瓦茨—皮克引理*
  • 7.7.1 施瓦茨引理
  • 7.7.2 刘维尔定理
  • 7.7.3 皮克的结果
  • 7.8 广义辐角原理
  • 7.8.1 有理函数
  • 7.8.2 极点与本性奇点
  • 7.8.3 解释*
  • 7.9 习题
  • 第8章 复积分:柯西定理
  • 8.1 引言
  • 8.2 实积分
  • 8.2.1 黎曼和
  • 8.2.2 梯形法则
  • 8.2.3 误差的几何估计
  • 8.3 复积分
  • 8.3.1 复黎曼和
  • 8.3.2 一个可视化技巧
  • 8.3.3 一个有用的不等式
  • 8.3.4 积分法则
  • 8.4 复反演
  • 8.4.1 一段圆弧
  • 8.4.2 一般环路
  • 8.4.3 环绕数
  • 8.5 共轭映射
  • 8.5.1 引言
  • 8.5.2 用面积来解释
  • 8.5.3 一般环路
  • 8.6 幂函数
  • 8.6.1 沿圆弧的积分
  • 8.6.2 复反演作为极限情况*
  • 8.6.3 一般回路和形变定理
  • 8.6.4 定理的进一步推广
  • 8.6.5 留数
  • 8.7 指数映射
  • 8.8 基本定理
  • 8.8.1 引言
  • 8.8.2 一个例子
  • 8.8.3 基本定理
  • 8.8.4 积分作为原函数
  • 8.8.5 对数作为积分
  • 8.9 用参数做计算
  • 8.10 柯西定理
  • 8.10.1 一些预备知识
  • 8.10.2 解释
  • 8.11 一般的柯西定理
  • 8.11.1 结果
  • 8.11.2 解释
  • 8.11.3 一个更简单的解释
  • 8.12 回路积分的一般公式
  • 8.13 习题
  • 第9章 柯西公式及其应用
  • 9.1 柯西公式
  • 9.1.1 引言
  • 9.1.2 第一种解释
  • 9.1.3 高斯平均值定理
  • 9.1.4 第二种解释和一般柯西公式
  • 9.2 无穷可微性和泰勒级数
  • 9.2.1 无穷可微性
  • 9.2.2 泰勒级数
  • 9.3 留数计算
  • 9.3.1 以极点为中心的洛朗级数
  • 9.3.2 计算留数的一个公式
  • 9.3.3 对实积分的应用
  • 9.3.4 用泰勒级数计算留数
  • 9.3.5 在级数求和上的应用
  • 9.4 环形域中的洛朗级数
  • 9.4.1 一个例子
  • 9.4.2 洛朗定理
  • 9.5 习题
  • 第10章 向量场:物理学与拓扑学
  • 10.1 向量场
  • 10.1.1 复函数作为向量场
  • 10.1.2 物理向量场
  • 10.1.3 流场和力场
  • 10.1.4 源和汇
  • 10.2 环绕数与向量场*
  • 10.2.1 奇点的指数
  • 10.2.2 庞加莱怎样看指数
  • 10.2.3 指数定理
  • 10.3 闭曲面上的流*
  • 10.3.1 庞加莱—霍普夫定理的陈述
  • 10.3.2 定义曲面上的指数
  • 10.3.3 庞加莱—霍普夫定理的解释
  • 10.4 习题
  • 第11章 向量场与复积分
  • 11.1 流量与功
  • 11.1.1 流量
  • 11.1.2 功
  • 11.1.3 局部流量和局部功
  • 11.1.4 散度和旋度的几何形式*
  • 11.1.5 零散度和零旋度向量场
  • 11.2 从向量场看复积分
  • 11.2.1 波利亚向量场
  • 11.2.2 柯西定理
  • 11.2.3 例子:面积作为流量
  • 11.2.4 例子:环绕数作为流量
  • 11.2.5 向量场的局部性态*
  • 11.2.6 柯西公式
  • 11.2.7 正幂
  • 11.2.8 负幂和多极子
  • 11.2.9 无穷远处的多极子
  • 11.2.10 洛朗级数作为多极子展开
  • 11.3 复位势
  • 11.3.1 引言
  • 11.3.2 流函数
  • 11.3.3 梯度场
  • 11.3.4 势函数
  • 11.3.5 复位势
  • 11.3.6 例
  • 11.4 习题
  • 第12章 流与调和函数
  • 12.1 调和对偶
  • 12.1.1 对偶流
  • 12.1.2 调和对偶
  • 12.2 共形不变性
  • 12.2.1 调和性的共形不变性
  • 12.2.2 拉普拉斯算子的共形不变性
  • 12.2.3 拉普拉斯算子的意义
  • 12.3 一个强有力的计算工具
  • 12.4 回顾复曲率*
  • 12.4.1 调和等势线的几何性质
  • 12.4.2 调和等势线的曲率
  • 12.4.3 关于复曲率的进一步计算
  • 12.4.4 复曲率的其他几何性质
  • 12.5 绕障碍物的流
  • 12.5.1 引言
  • 12.5.2 一个例子
  • 12.5.3 镜像法
  • 12.5.4 把一个流映为另一个流
  • 12.6 黎曼映射定理的物理学
  • 12.6.1 引言
  • 12.6.2 外映射和绕障碍物的流
  • 12.6.3 内映射和偶极子
  • 12.6.4 内映射、涡旋和源
  • 12.6.5 一个例子:圆盘的自同构
  • 12.6.6 格林函数
  • 12.7 狄利克雷问题
  • 12.7.1 引言
  • 12.7.2 施瓦茨的解释
  • 12.7.3 圆盘的狄利克雷问题
  • 12.7.4 诺依曼和波歇的解释
  • 12.7.5 一般的格林公式
  • 12.8 习题
  • 参考文献
  • 译后记
  • 作者简介
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出版方

人民邮电出版社

人民邮电出版社是工业和信息化部主管的大型专业出版社,成立于1953年10月1日。人民邮电出版社坚持“立足信息产业、面向现代社会、传播科学知识、服务科教兴国”,致力于通信、计算机、电子技术、教材、少儿、经管、摄影、集邮、旅游、心理学等领域的专业图书出版。