每日一书：《欧拉的宝石 从多面体公式到拓扑学的诞生》。数学家就是一台把咖啡转化为定理的机器。—— 奥尔弗雷德・雷尼（保罗・埃尔德什多次引用）哈耶克说，神经网络的首要功能就是为经验分类（参阅我为哈耶克《感觉的秩序》撰写的长篇导读）。从而，行为主体（生物或机器）可将世间万物按照 “价值” 加以排序。每述及此，我总要引述天才的小密尔（《政治经济学原理》）的定义：价值就是 “被感受到的重要性”（importance felt）。这样的价值排序，运用于由一组约束条件界定的 “可选方案集合”，就是最广义的经济学理性选择模型。这里的 “经济学理性”，意思是行为主体应在可选方案集合里选择价值较高而不是价值较低的方案。这也是经济学，或广义经济学，使自己立足于社会科学领域的唯一原理。（汪丁丁《观念为现象分类》）行为主体根据自己的重要性感受配置自己的注意力，从而，在注意力最集中的领域，观念对现象的分类最细致。世界是现象的集合，可理解的现象被有机体归类，神经元网络是分类的生物载体，人有观念拓扑，是神经元网络分类活动的知识表达，观念之间可以有距离。数百亿神经元的交互作用，形成了我们称为 “意识” 和 “观念” 的涌现秩序。再由许多观念的交互作用，形成了我们称为 “人生观” 和 “世界观” 的涌现秩序。（汪丁丁《观念为现象分类》）柏格森的名著《时间与自由意志》第一章《心理状态的强度》，阐明了情感很难有度量。我愿意退一步，寻找两个观念之间的等价关系。在观念拓扑里寻找可能存在的等价关系，尤其当观念不能转化为商品的时候，找到这样的等价关系（建立新的无差异曲线），就可拓展现代经济学。（汪丁丁《可理解的、可分类的、可度量的 “现象”》）引述完这三段，我能理解为什么要提出 “观念拓扑” 这个词了。观念可度量是太强的假设，因而退一步寻找观念之间的等价关系。但观念不是一板一眼、横平竖直、全等对齐的，它像是神经元网络构成的 n 维回路，用拓扑结构来描述才更为准确。因此，要想描述等价的观念，我们需要寻找拓扑不变量。回到这本书，对拓扑学的形象比喻是橡皮膜几何学，更为准确的说法是定性几何学，用以区别侧重定量关系的传统几何学。用庞加莱的命名更好理解，拓扑学其实是位置几何学、位置分析学。图网络可从多面体的投影变换而来，曲面几何体从多面体的弯曲、扭转、拉伸、压缩等同胚变换得来，而不会改变形状的拓扑。黏合多边形或多面体的表面构造交叉帽、克莱因瓶等复杂流形，三维及以上维度的黏合构造更高维的流形。欧拉公式 V-E+F=2（凸多面体的顶点数 - 棱数 + 面数 = 2）或欧拉数，是极为重要的一个拓扑不变量。书中用正多面体、多面体的性质、图论、四色问题、拓扑形状的同胚性与拓扑不变量、曲面的分类问题、纽结问题、曲面的向量场与不动点问题、拓扑与几何的关系、高维流形、庞加莱猜想（每个单连通闭 3 - 流形都同胚于 3 - 球面）等内容，以及最后代数拓扑学的诞生，串起了数学史的一个进路。笛卡儿用分析学来理解几何学。黎曼和庞加莱用拓扑学来理解分析学。高斯和博内用拓扑学来理解几何学。而现在，拓扑学家们可以无拘无束地用代数学来理解拓扑学。这种学科交叉孕育出了极为丰硕的成果。（《欧拉的宝石》第二十三章）